Мы вновь с вами и возобновляем наш семинар в весеннем семестре. И начнём мы его с Великой теоремы Ф…

Пусть нам дано какое-нибудь иррациональное число a. На семинарах вы все учились строить к нему подходящие дроби pn/qn. Возникает вполне логичный вопрос: как понять,что какая-то дробь c/b является той самой pn/qn для некоторого n? Не перебирать же!

Оказывается, если c/b удовлетворяет неравенству:

| a — c/b| ﹤ 1/(2b^2)

То она автоматически подходящая.

Внимательные читатели углядели, что это очень похоже на теорему Дирихле. В связи с этим, мы так же зададимся вопросом, а какие рациональные удовлетворяют:

| a — c/b| ﹤ 1/(b^2)

И увидим, как тут возникает «правильное» сложение дробей: p1/q1 + p2/q2 = (p1+p2)/(q1+q2), а также много красивейших тождеств. Именно на это и ответит Великая Теорема Фату.