Абстрактное векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая представляет собой набор элементов (векторов), для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число (скаляр). При этом вектор как элемент пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка.

Определение
Множество V называется векторным пространством над полем F, если:

Каждым двум элементам x, y ∈ V поставлен в соответствие элемент z ∈ V, называемый суммой элементов x и y.

Каждому элементу x ∈ V и каждому элементу λ ∈ F поставлен в соответствие элемент λx ∈ V, называемый произведением элемента λ на элемент x.

Эти операции (линейные операции) удовлетворяют определённым требованиям (аксиомам). Например, коммутативность сложения, ассоциативность, существование нулевого вектора и противоположного вектора для каждого вектора.

Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел.

Свойства
Некоторые аксиомы, которым должно удовлетворять векторное пространство:
Коммутативность и ассоциативность сложения. Например, для любых двух векторов u и v, u + v = v + u и (u + v) + w = u + (v + w) для любого вектора w.
Существование нулевого вектора — для любого вектора v выполняется v + 0 = v.
Для каждого вектора v существует противоположный вектор — обозначаемый как -v, такой что v + (-v) = 0.
Операция умножения векторов на скаляры должна удовлетворять определённым свойствам, таким как дистрибутивность по сложению векторов и скалярных чисел, а также ассоциативность.

Одна из главных характеристик векторного пространства — размерность — максимальное число линейно независимых элементов пространства. В первом случае пространство называется конечномерным, во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций).

Примеры
Некоторые примеры абстрактных векторных пространств:
Пространство многочленов степени, меньшей или равной n для некоторых n ∈ N.
Пространство рациональных функций с заданным знаменателем.
Пространство последовательностей, удовлетворяющих линейному рекуррентному соотношению.
Пространство всех функций на множестве M со значениями в поле F — является векторным пространством над F относительно обычных операций над функциями.
Множество C[a, b] непрерывных функций на отрезке [a, b] — образует векторное пространство над R относительно обычных операций над функциями.

Применение
Концепция векторных пространств фундаментальна для линейной алгебры. Она обеспечивает краткий и синтетический способ манипулирования и изучения систем линейных уравнений. Также векторные пространства встречаются в других областях, например:

В физике — для описания силы, скорости и других величин, которые имеют направление и величину.
В информатике — в алгоритмах машинного обучения, где данные могут быть представлены в виде векторов в многомерном пространстве.
В экономике — для моделирования различных экономических индикаторов и для анализа взаимосвязей между ними.